Atividade investigativa com geogebra

Conteúdo: Geometria plana;

Série: 9º ano;

Objetivo: Investigar as propriedades de um triângulo;

         

Na atividade do dia 9 de maio apresentamos o software Geogebra (Clique aqui para ver a atividade), hoje trabalharemos uma atividade investigativa para que os alunos exercitem sua utilização, aprimorem o raciocínio e a observação das propriedades geométricas.

Download Geogebra: https://www.geogebra.org/download

1 - Iniciaremos construindo uma reta AB:

2 - Determine um ponto C não pertencente a reta e um ponto D pertencente a reta AB:

3 - Construa uma reta perpendicular à reta AB que passe no ponto D:

4 – Construa o segmento de reta CD:

5 – Determine a mediatriz do segmento CD:

6 – A mediatriz ira interceptar a reta perpendicular, a intersecção determine de ponto E:

7 – Construa um triangulo CDE:

O que podemos observar até aqui?

Que o triângulo é isósceles, pois a mediana também é a altura do triangulo;

A distância CE é igual a DE;

8 – Desloque o ponto D sobre a reta AB:

E agora?

Independente do deslocamento, a distância CE continuará sendo igual a DE;

Podemos dizer também que o ponto E é equidistante a C e a reta AB uma vez que um dos lados do triângulo é perpendicular à reta AB;

Podemos instigar o aluno a explorar o software e suas ferramentas para executar cada ação, pois o software nos proporciona várias maneiras de chegar a um mesmo objetivo enriquecendo assim a nossa atividade, além, é claro, da análise das propriedades da figura já construída. 

Referências:

Canal Professor Marcelo de Moura Costa 

https://www.youtube.com/channel/UClQAiqp12bsVP4-gjFl1kbw

Explorando Equações do 1º grau através de um Objeto Virtual de Aprendizagem (OVA)

• Conteúdo: Equações do 1º grau;
• Série: 9º ano
• Objetivo: Retomar, ampliar e investigar os conceitos de igualdade, equivalência, operações inversas e equações do primeiro grau em geral;

• Objeto Virtual de Aprendizagem (OVA) 

     O OVA intitulado "Aprendendo equações através da balança" é um jogo lúdico da Fábrica Virtual da UNIJUI em parceria com a RIVED, desenvolvido por Antônio Miguel e Adilson Sella que aborda o conteúdo matemático comumente chamado de equações do 1º grau.

    Link de acesso online:

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/Antonio_miguel_e_Adilson_Sella/index.html

     Link para Download do OVA:

https://drive.google.com/file/d/0ByxJYI1TAbwJaVlaUnh2Q2s0TTg/view?ts=5924f188

Tela 1

     A tela 1 exibida na imagem mostra como o jogo inicia, onde o aluno deve seguir o tutorial descrito na instrução: usar o mouse para arrastar os tomates para a balança. Assim, o aluno pode criar diferentes valores em cada lado da balança, investigando assim os primeiros indícios de igualdade.

Tela 1.1

     Após o aluno colocar diferentes quantidades de tomate em cada lado da balança, o aluno deve clicar no botão inferior para fazer os exercícios propostos para a tela atual, tais como:

- O que vai acontecer se tirarmos 1 tomate de cada prato?

1. Se mantém em equilíbrio.

2. Vai desequilibrar.

- O que acontece se retirarmos 1 tomate de um dos pratos da balança?

1. Se mantém em equilíbrio.

2. Vai desequilibrar.

     Depois de responder cerca de 5 perguntas relacionadas ao exercício, o aluno pode ir para a próxima tela apertando o botão inferior direito com sinal de seta.

Tela 2

     Nesse momento o aluno possui uma sacola com um número indefinido de tomates dentro num lado da balança, mas que pode ser encontrado ao adicionar mais frutos no outro.

Tela 2.1

     Ao adicionar os tomates equivalentes dentro da sacola, a balança torna-se reta, mostrando o valor de X. Além disso, o aluno pode adicionar tomates além do valor e também junto a sacola para investigar um pouco mais o conceito trabalhado. Se X = 5, então X + 1 = 5 + 1.

Tela 2.2

     Então deve-se realizar os exercícios para a tela 2 clicando no botão inferior.

   Posteriormente, haverão diversas telas com enésimas maneiras do aluno analisar colocando e retirando tomates dos lados da balança, levando em conta mais sacolas e diferente números de tomates dentro da mesma, com exercícios específicos para cada caso.

Tela 7

     Veja no caso da Tela 7. O discente pode construir conhecimento sobre equivalências e operações inversas ao reduzir os tomates de ambos os lados, tirando primeiramente 4 tomates de cada lado, depois uma sacola e a metade de tomates do lado oposto para chegar ao valor X = 5.

     Após toda a abordagem do OVA e a investigação, o professor tem autonomia de aprofundar melhor os conceitos algébricos investigados durante a jogabilidade.

Referências:

UNIJUÍ-Fábrica Virtual. Disponível em: <http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/> Acesso em jun. 2017.

Explorando as propriedades da função quadrática utilizando o Software WINPLOT

Para alunos do 9° ano do ensino fundamental com o objetivo de aprimorar as noções básicas da formação do gráfico da função quadrática.

Sobre o Winplot

Foi desenvolvido pelo professor Richard Parris, por volta de 1985. Escrito em linguagem C, chamava-se PLOT e rodava no antigo DOS. Com o lançamento do Windows 3.1 o programa foi rebatizado de Winplot.

Atualmente pode ser encontrado em vários idiomas.

No link abaixo disponibilizamos o software em português:

https://drive.google.com/open?id=0ByxJYI1TAbwJcUhLcEJwQWdBNDg

Função quadrática

Função quadrática ou função do segundo grau é uma aplicação F de R→R que associa a cada x o elemento (ax² + bx + c) ∈ R, em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0. Pois se a = 0, não teremos mais uma função quadrática e sim uma função afim: y = bx +c.

Com o conceito de função quadrática definido, vamos analisar suas propriedades utilizando o software.

PRIMEIROS PASSOS

1 - Janela inicial:

2 - Abrindo o plano cartesiano:

Aperte F2;

Maximize no canto superior direito do plano;

Use as teclas PgDn e PgUp para aproximar ou afastar o plano;

Outra dica:

Quer mexer na janela? Clique nela!

Quer mexer no gráfico? Clique nele!

ANÁLISE DAS PROPRIEDADES

3 – A primeira função é dada por f(x) = x², vamos inseri-la no plano:

Aperte F1;

Insira a função no campo f(x);

Atenção!!!!!

O programa interpreta os sinais matemáticos de forma diferente, portanto:

+ é +

- é -

* é vezes

/ é dividir ou fração

^ é elevado na;

4 – Com esta função podemos trabalhar a definição da concavidade da parábola com a>0 voltada para cima e a<0 voltada para baixo. Para demonstrar, aperte F1 e insira a função f(x) = -x²;

Perceba que na janela inventário, podemos editar e selecionar as funções que vão sendo inseridas;

Faça os alunos alterarem o valor de a nas equações, por exemplo por -2, +2, e questione como o gráfico se comporta;

Trabalhe com eles as funções dos botões da tela inventário, para que vejam as várias maneiras de se trabalhar no software, não tenha medo!!! Não quebra!!!

5 – Vamos inserir a função dada por f(x) = x² - 4, lembre-se, basta pressionar F1 e preencher o campo f(x);

Trabalhe com os alunos o valor de c ≠ 0 e o que isso impacta no gráfico;

Lembre-se:

As teclas PgUp e PgDn aproximam e afastam a tela, e as setas do teclado movem o gráfico respectivamente para o lado que apontam;

Isso é só o começo, explore todas as propriedades como vértice, quadrado perfeito e faça-os analisarem passo a passo, como o gráfico se comporta.

Boa aula!!!!

Plano de aula com Geogebra

I. Dados de Identificação: Escola: Chuck Norris High School Professor: Jean Ocyr; Pablo Ricardo; Série: 1º ano Nº de períodos: 2 períodos de 45 minutos cada

II. Tema:  Matemática - Álgebra

III. Objetivos:   Objetivo geral:       (1) Retomar e ampliar conceitos e noções básicas de função afim com um software gráfico. Objetivos específicos: (1)   Facilitar a visualização do plano cartesiano e como a função é construída; (2)   Ativar no aluno a percepção das propriedades dos coeficientes (angular e linear) observando como a reta se comporta na prática;

IV. Conteúdo: Função afim

V. Desenvolvimento do tema e os procedimentos de ensino: (1) Revisão das propriedades da função afim e seus coeficientes;      No primeiro momento da aula, será exposta uma breve revisão das propriedades do conteúdo, de tal forma que enfatize a explicação do significado dos termos contidos na função. f(x) = ax+b   ou   y = ax+b     Sendo: y: variável dependente a: coeficiente angular x: variável independente b: coeficiente linear      Buscar-se-á manifestar apenas as informações teóricas necessárias para os alunos, a fim de que os conhecimentos necessários construam-se ao utilizarem o programa. (2) Apresentação do programa e seus recursos básicos;      Neste instante, ocorrerá uma apresentação explicativa e indicativa do software GeoGebra para os discentes, que já estarão em contato com o mesmo através de computadores na sala de informática. Download do Software: https://www.geogebra.org/download O que é Geogebra?      GeoGebra é um software dinâmico de matemática para todos os níveis de educação que reúne geometria, álgebra, planilhas, gráficos, estatísticas e cálculo em um pacote fácil de usar. A GeoGebra é uma comunidade em rápida expansão de milhões de usuários localizada em praticamente todos os países. GeoGebra tornou-se o fornecedor líder de software de matemática dinâmica, apoiando ciência, tecnologia, engenharia e matemática (STEM) educação e inovações no ensino e aprendizagem em todo o mundo. Recursos básicos:      Como há inúmeros recursos e comandos para se utilizar, apresentaremos apenas dois que serão utilizados no decorrer das atividades de construção do gráfico das funções.        ·         O Campo de entrada do software está situado no canto superior esquerdo, abaixo dos botões de recursos;        ·         O penúltimo botão da esquerda para direita tem funções como criar controle deslizante, inserir texto, imagens, botões entre outros afins; (3)   Atividades com construções manipuláveis no programa;      Indicar-se-á ao aluno clicar com o botão direito do mouse no último ícone apresentado e selecionar a opção “Controle Deslizante”. Aparecerá uma nova janela com as propriedades do controle:      O aluno deverá criar dois controles deslizantes, denominados “a” e “b” (coeficientes da função a fim), com mínimo -10, máximo 10 e incremento 0.2. Ficará desta maneira:    Então pode-se escrever a função afim no campo de entrada: Então o gráfico da função aparecerá e poderemos iniciar a manipulação do gráfico através dos controles deslizantes:      A partir daí então, pode-se intervir solicitando construções de vários gráficos, buscando explicar e fazê-los compreenderem derivados conceitos sobre os termos da função na variação dos valores, sejam aleatórios ou específicos: Ø  Gráficos com a>0 (crescente); Ex:  y = x;  y = 2x;  y = 3x + 1;  y = (1/2)x + 1 Ø  Gráficos com a<0 (decrescente); Ex:  y = -x;  y = -3x+1;  y = -x+3 Ø  Gráficos com a=0 (b constante); Ex:  y = 2;  y = 1;  y = 0 Ø  Gráficos semelhantes com variação no b; Ex:  y = 2x;  y = 2x + ½;  y = 2x + 1;  y = 2x + 2 Ø  Gráficos semelhantes com variação no a; Ex:  y = -(1/2)x; y = 0;  y = (1/2)x/ y = x;  y = (3/2)x;  y = 2x      Todos os possíveis casos possuem fins de mostrar os conceitos básicos, como a mudança no ângulo com a mudança de “a”, a mudança no valor da interceptação do eixo y com a mudança de “b”, a consequência de valores nulos etc. (4)   Avaliação Por fim, será realizado um teste avaliativo com intuito de verificar se os alunos aprenderam a interagir com as funções apresentadas no software e se construíram conhecimento a respeito dos afins do conteúdo abordado (avaliação no item VII).

VI. Recursos didáticos: Software Geogebra, quadro negro, computador, projetor;

VII. Avaliação: Participação nas atividades propostas e nível de compreensão do conteúdo – peso 3,0; Aplicação de um teste avaliativo – peso 7,0; Teste avaliativo: A função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. Construa o gráfico da f(x) no Geogebra; Determine a variação do coeficiente angular de -5 a 5; Determine a variação do coeficiente linear de -7 a 7; Manipule a reta conforme as funções abaixo e descreva suas características dentro do plano cartesiano: Na função f(x) = 2x +5 o que acontece com a reta? Na função f(x) = -3x o que acontece com a reta? Na função f(x) = -x - 4 o que acontece com a reta?

VIII.Referências: Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos; - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 1 - Conjuntos - Funções - 9ª Ed. 2013 – Atual Editora;

Observações da aula:

Desenhando um quadrado ou retângulo e sua diagonal - Software LOGO

• Conteúdo: Álgebra; diagonal de um quadrado ou retângulo; teorema de Pitágoras;

• Série: oitavo ano;

• Objetivo: Retomar e ampliar brevemente o conceito da diagonal de um quadrado ou retângulo com o teorema de Pitágoras utilizando o software LOGO;

• Desenvolvimento: 

Software educacional LOGO

          O ambiente Logo tradicional envolve uma tartaruga gráfica, um robô pronto para responder aos comandos do usuário. Uma vez que a linguagem é interpretada e interativa, o resultado é mostrado imediatamente após digitar-se o comando incentivando o aprendizado. Nela, o aluno aprende com seus erros. Aprende vivenciando e tendo que repassar este conhecimento para o LOGO. Se algo está errado em seu raciocínio, isto é claramente percebido e demonstrado na tela, fazendo com que o aluno pense sobre o que poderia estar errado e tente, a partir dos erros vistos, encontrar soluções corretas para os problemas.

Download do Software

http://prdownloads.sourceforge.net/slogo3b/SLogo2004mar.zip?download

Exemplo de exercício

        Tendo em mãos o software, exemplificaremos apenas um exercício de como desenhar o quadrado ou retângulo e sua diagonal utilizando o teorema de Pitágoras;

1 - O primeiro passo é criar um quadrado ou retângulo:

Onde:

pf = para frente

pd = para o lado + o grau de inclinação

:a = medida da altura     :l = medida da largura 

Obs: os valores de a e l são de escolha do aluno.

Digite no campo de entrada (todos sem aspas):

1º     "pf :a pd 90"

2º     "pf :l pd 90"

3º     "pf :a pd 90"

4º     "pf :l pd 90"

2 - Antes de calcularmos a diagonal precisamos fazer a tartaruga que está para cima no ponto A, girar em direção ao ponto B:

pd arctan :l / :a

onde arctan é o comando para girar em graus em relação a reta.

3 – Agora desenharemos a diagonal usando o Teorema de Pitágoras onde:

d²=a²+l²  (a²=b²+c²)

logo 

Obs: aqui há uma breve explicação algébrica de como se isola o valor "d", através da operação inversa da potenciação (radiciação) em ambos os lados da igualdade, encontrando assim a expressão final.

Onde:

raizq = raiz quadrada

Então digite (sem aspas):

1º     "pf raizq (:l * :l + :a * :a)"

Assim terminamos o desenho da diagonal. Esta atividade foi uma exemplificação e é sugestiva para que o abordador dê sequência na abordagem do conteúdo da maneira que achar melhor.